Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 6,5
c = 5

Obsah trojuholníka: S = 16,23296747888
Obvod trojuholníka: o = 19,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,75

Uhol ∠ A = α = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad
Uhol ∠ B = β = 54,24111511095° = 54°14'28″ = 0,94766866769 rad
Uhol ∠ C = γ = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,05774186972
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,99437460889
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,49218699155

Ťažnica: t_a = 4,19882139059
Ťažnica: t_b = 5,82655900989
Ťažnica: t_c = 6,84765319688

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,66545820296
Polomer opísanej kružnice: R = 4,00550093946

Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[4,675; 6,49218699155]
Ťažisko: T[3,225; 2,16439566385]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; 3,12989135895]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,25; 1,66545820296]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad
∠ B' = β' = 125,75988488905° = 125°45'32″ = 0,94766866769 rad
∠ C' = γ' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 6, 5 c = 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 6, 5 + 5 = 19, 5

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 , 5}{2} = 9, 75

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 75 (9, 75 - 8) (9, 75 - 6, 5) (9, 75 - 5) S = 263, 4 = 16, 23

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 3}{8} = 4, 06 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 3}{6 , 5} = 4, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 3}{5} = 6, 49

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 5 ^{2} + 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 6 , 5 \cdot 5}) = 87 ° 8^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 5 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 5}) = 54 ° 1 4^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 87 ° 8^{'} 2 " - 54 ° 1 4^{'} 28 " = 38 ° 3 7^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 , 2 3}{9 , 7 5} = 1, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 6 , 5 \cdot 5}{4 \cdot 1 , 6 6 5 \cdot 9 , 7 5} = 4, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 4, 198 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2} = 5, 826 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 6, 847

Vypočítať ďaľší trojuholník