Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 8
c = 11,31
Obsah trojuholníka: S = 321,9999931258
Obvod trojuholníka: o = 27,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,655
Uhol ∠ A = α = 45,01987777978° = 45°1'8″ = 0,78657258978 rad
Uhol ∠ B = β = 45,01987777978° = 45°1'8″ = 0,78657258978 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,96224444043° = 89°57'45″ = 1,5770140858 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 87,9999982814
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 87,9999982814
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,65987078914
Ťažnica: ta = 8,94219265262
Ťažnica: tb = 8,94219265262
Ťažnica: tc = 5,65987078914
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,34334634292
Polomer opísanej kružnice: R = 5,65550012148
Súradnice vrcholov: A[11,31; 0] B[0; 0] C[5,655; 5,65987078914]
Ťažisko: T[5,655; 1,88662359638]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,655; 0,00437066766]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,655; 2,34334634292]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,98112222022° = 134°58'52″ = 0,78657258978 rad
∠ B' = β' = 134,98112222022° = 134°58'52″ = 0,78657258978 rad
∠ C' = γ' = 90,03875555957° = 90°2'15″ = 1,5770140858 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=8 c=11,31
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+8+11,31=27,31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227,31=13,66
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,66(13,66−8)(13,66−8)(13,66−11,31) S=1024=32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 32=8 vb=b2 S=82⋅ 32=8 vc=c2 S=11,312⋅ 32=5,66
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 11,3182+11,312−82)=45°1′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 11,3182+11,312−82)=45°1′8" γ=180°−α−β=180°−45°1′8"−45°1′8"=89°57′45"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,6632=2,34
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,343⋅ 13,6558⋅ 8⋅ 11,31=5,66
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 11,312−82=8,942 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 11,312+2⋅ 82−82=8,942 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−11,312=5,659
Vypočítať ďaľší trojuholník