Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 80
b = 50
c = 50

Obsah trojuholníka: S = 1200
Obvod trojuholníka: o = 180
Semiperimeter (poloobvod): s = 90

Uhol ∠ A = α = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,8554590436 rad
Uhol ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ C = γ = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 30
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 48
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 48

Ťažnica: t_a = 30
Ťažnica: t_b = 61,84765843843
Ťažnica: t_c = 61,84765843843

Polomer vpísanej kružnice: r = 13,33333333333
Polomer opísanej kružnice: R = 41,66766666667

Súradnice vrcholov: A[50; 0] B[0; 0] C[64; 48]
Ťažisko: T[38; 16]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[25; 33,33333333333]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[40; 13,33333333333]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,8554590436 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 80 b = 50 c = 50

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 80 + 50 + 50 = 180

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 0}{2} = 90

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 90 (90 - 80) (90 - 50) (90 - 50) S = 1440000 = 1200

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 0 0}{8 0} = 30 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 0 0}{5 0} = 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 0 0}{5 0} = 48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 0 ^{2} + 5 0 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2 \cdot 5 0 \cdot 5 0}) = 106 ° 1 5^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 0 ^{2} + 5 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2 \cdot 8 0 \cdot 5 0}) = 36 ° 5 2^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 106 ° 1 5^{'} 37 " - 36 ° 5 2^{'} 12 " = 36 ° 5 2^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 0 0}{9 0} = 13, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 0 \cdot 5 0 \cdot 5 0}{4 \cdot 1 3 , 3 3 3 \cdot 9 0} = 41, 67

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2} = 30 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 61, 847 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 61, 847

Vypočítať ďaľší trojuholník