Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 840,15
b = 870
c = 1209,44
Obsah trojuholníka: S = 365465,254999592
Obvod trojuholníka: o = 2919,59
Semiperimeter (poloobvod): s = 1459,795
Uhol ∠ A = α = 444,0001567685° = 44°1″ = 0,7687947607 rad
Uhol ∠ B = β = 466,000114017° = 46° = 0,80328534459 rad
Uhol ∠ C = γ = 909,9997292145° = 89°59'59″ = 1,57107916007 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8709,9999999903
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 840,15499999906
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 604,35444946354
Ťažnica: ta = 966,10553520062
Ťažnica: tb = 946,08332775448
Ťažnica: tc = 604,72328562325
Polomer vpísanej kružnice: r = 250,35438168002
Polomer opísanej kružnice: R = 604,72200000068
Súradnice vrcholov: A[1209,44; 0] B[0; 0] C[583,61660272936; 604,35444946354]
Ťažisko: T[597,68553424312; 201,45114982118]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[604,72; 0,00328579667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[589,795; 250,35438168002]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 1365,9998432315° = 135°59'59″ = 0,7687947607 rad
∠ B' = β' = 1343,999885983° = 134° = 0,80328534459 rad
∠ C' = γ' = 900,0002707855° = 90°1″ = 1,57107916007 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=840,15 b=870 c=1209,44
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=840,15+870+1209,44=2919,59
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=22919,59=1459,8
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=1459,8(1459,8−840,15)(1459,8−870)(1459,8−1209,44) S=133564848954,58=365465,25
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=840,152⋅ 365465,25=870 vb=b2 S=8702⋅ 365465,25=840,15 vc=c2 S=1209,442⋅ 365465,25=604,35
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 870⋅ 1209,448702+1209,442−840,152)=44°1" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 840,15⋅ 1209,44840,152+1209,442−8702)=46° γ=180°−α−β=180°−44°1"−46°=89°59′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1459,8365465,25=250,35
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 250,354⋅ 1459,795840,15⋅ 870⋅ 1209,44=604,72
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 8702+2⋅ 1209,442−840,152=966,105 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 1209,442+2⋅ 840,152−8702=946,083 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 840,152+2⋅ 8702−1209,442=604,723
Vypočítať ďaľší trojuholník