Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 88
b = 88
c = 175,33

Obsah trojuholníka: S = 672,49884081599
Obvod trojuholníka: o = 351,33
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,665

Uhol ∠ A = α = 5,00109966921° = 5°4″ = 0,08772838582 rad
Uhol ∠ B = β = 5,00109966921° = 5°4″ = 0,08772838582 rad
Uhol ∠ C = γ = 169,99880066158° = 169°59'53″ = 2,96770249373 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 15,28440547309
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 15,28440547309
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,67112303446

Ťažnica: t_a = 131,55334281195
Ťažnica: t_b = 131,55334281195
Ťažnica: t_c = 7,67112303446

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,82883005047
Polomer opísanej kružnice: R = 504,74330237475

Súradnice vrcholov: A[175,33; 0] B[0; 0] C[87,665; 7,67112303446]
Ťažisko: T[87,665; 2,55770767815]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[87,665; -497,07217934029]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[87,665; 3,82883005047]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 174,99990033079° = 174°59'56″ = 0,08772838582 rad
∠ B' = β' = 174,99990033079° = 174°59'56″ = 0,08772838582 rad
∠ C' = γ' = 10,00219933842° = 10°7″ = 2,96770249373 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 88 b = 88 c = 175, 33

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 88 + 88 + 175, 33 = 351, 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5 1 , 3 3}{2} = 175, 67

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 175, 67 (175, 67 - 88) (175, 67 - 88) (175, 67 - 175, 33) S = 452254, 11 = 672, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 5}{8 8} = 15, 28 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 5}{8 8} = 15, 28 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 5}{1 7 5 , 3 3} = 7, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 8 ^{2} + 1 7 5 , 3 3 ^{2} - 8 8 ^{2}}{2 \cdot 8 8 \cdot 1 7 5 , 3 3}) = 5 ° 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 8 ^{2} + 1 7 5 , 3 3 ^{2} - 8 8 ^{2}}{2 \cdot 8 8 \cdot 1 7 5 , 3 3}) = 5 ° 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 5 ° 4 " - 5 ° 4 " = 169 ° 5 9^{'} 53 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 2 , 5}{1 7 5 , 6 7} = 3, 83

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 8 \cdot 8 8 \cdot 1 7 5 , 3 3}{4 \cdot 3 , 8 2 8 \cdot 1 7 5 , 6 6 5} = 504, 74

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 8 ^{2} + 2 \cdot 1 7 5 , 3 3 ^{2} - 8 8 ^{2}}{2} = 131, 553 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 5 , 3 3 ^{2} + 2 \cdot 8 8 ^{2} - 8 8 ^{2}}{2} = 131, 553 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 8 ^{2} + 2 \cdot 8 8 ^{2} - 1 7 5 , 3 3 ^{2}}{2} = 7, 671

Vypočítať ďaľší trojuholník