Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 9
b = 10
c = 4

Obsah trojuholníka: S = 17,98443682124
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Uhol ∠ B = β = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,61224750592 rad
Uhol ∠ C = γ = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 3,99765262694
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,59768736425
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,99221841062

Ťažnica: t_a = 6,14441028637
Ťažnica: t_b = 4,84876798574
Ťažnica: t_c = 9,30105376189

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,56438581054
Polomer opísanej kružnice: R = 5,00443459374

Súradnice vrcholov: A[4; 0] B[0; 0] C[-0,375; 8,99221841062]
Ťažisko: T[1,20883333333; 2,99773947021]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2; 4,58773171093]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,56438581054]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
∠ B' = β' = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,61224750592 rad
∠ C' = γ' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 10 c = 4

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 10 + 4 = 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 9) (11, 5 - 10) (11, 5 - 4) S = 323, 44 = 17, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 , 9 8}{9} = 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 , 9 8}{1 0} = 3, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 , 9 8}{4} = 8, 99

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 4}) = 64 ° 3^{'} 20 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 4}) = 92 ° 2 3^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 3^{'} 20 " - 92 ° 2 3^{'} 17 " = 23 ° 3 3^{'} 23 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 , 9 8}{1 1 , 5} = 1, 56

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 4}{4 \cdot 1 , 5 6 4 \cdot 1 1 , 5} = 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 144 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 848 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 9, 301

Vypočítať ďaľší trojuholník