Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 40
c = 41
Obsah trojuholníka: S = 180
Obvod trojuholníka: o = 90
Semiperimeter (poloobvod): s = 45
Uhol ∠ A = α = 12,68803834918° = 12°40'49″ = 0,22113144423 rad
Uhol ∠ B = β = 77,32196165082° = 77°19'11″ = 1,34994818844 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 40
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,78804878049
Ťažnica: ta = 40,25223291252
Ťažnica: tb = 21,93217121995
Ťažnica: tc = 20,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 4
Polomer opísanej kružnice: R = 20,5
Súradnice vrcholov: A[41; 0] B[0; 0] C[1,97656097561; 8,78804878049]
Ťažisko: T[14,3255203252; 2,92768292683]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[20,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 4]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,32196165082° = 167°19'11″ = 0,22113144423 rad
∠ B' = β' = 102,68803834918° = 102°40'49″ = 1,34994818844 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=40 c=41
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+40+41=90
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=290=45
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=45(45−9)(45−40)(45−41) S=32400=180
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 180=40 vb=b2 S=402⋅ 180=9 vc=c2 S=412⋅ 180=8,78
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 40⋅ 41402+412−92)=12°40′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 4192+412−402)=77°19′11" γ=180°−α−β=180°−12°40′49"−77°19′11"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=45180=4
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4⋅ 459⋅ 40⋅ 41=20,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 402+2⋅ 412−92=40,252 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 412+2⋅ 92−402=21,932 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 402−412=20,5
Vypočítať ďaľší trojuholník