Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 7,33
c = 10
Obsah trojuholníka: S = 31,82218351773
Obvod trojuholníka: o = 26,33
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,165
Uhol ∠ A = α = 60,25774001485° = 60°15'27″ = 1,05216900313 rad
Uhol ∠ B = β = 45,00436554438° = 45°13″ = 0,78554619629 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,73989444077° = 74°44'20″ = 1,30444406594 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,07215189283
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,68326289706
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,36443670355
Ťažnica: ta = 7,52442574384
Ťažnica: tb = 8,7798825377
Ťažnica: tc = 6,50987978921
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,41771542102
Polomer opísanej kružnice: R = 5,18327620589
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[6,3643555; 6,36443670355]
Ťažisko: T[5,45545183333; 2,12114556785]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 1,36441930064]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,835; 2,41771542102]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 119,74325998515° = 119°44'33″ = 1,05216900313 rad
∠ B' = β' = 134,99663445562° = 134°59'47″ = 0,78554619629 rad
∠ C' = γ' = 105,26110555923° = 105°15'40″ = 1,30444406594 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=7,33 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+7,33+10=26,33
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226,33=13,17
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,17(13,17−9)(13,17−7,33)(13,17−10) S=1012,63=31,82
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 31,82=7,07 vb=b2 S=7,332⋅ 31,82=8,68 vc=c2 S=102⋅ 31,82=6,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7,33⋅ 107,332+102−92)=60°15′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−7,332)=45°13" γ=180°−α−β=180°−60°15′27"−45°13"=74°44′20"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,1731,82=2,42
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,417⋅ 13,1659⋅ 7,33⋅ 10=5,18
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 7,332+2⋅ 102−92=7,524 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 92−7,332=8,779 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 7,332−102=6,509
Vypočítať ďaľší trojuholník