Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 9
b = 7,5
c = 4,5

Obsah trojuholníka: S = 16,83774582405
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Uhol ∠ A = α = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 3,74216573868
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,49899888641
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,48333147735

Ťažnica: t_a = 4,24326406871
Ťažnica: t_b = 6,04766933112
Ťažnica: t_c = 7,97326093596

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,60435674515
Polomer opísanej kružnice: R = 4,51100334573

Súradnice vrcholov: A[4,5; 0] B[0; 0] C[5; 7,48333147735]
Ťažisko: T[3,16766666667; 2,49444382578]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,25; 3,9098695663]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,60435674515]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 7, 5 c = 4, 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 7, 5 + 4, 5 = 21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 9) (10, 5 - 7, 5) (10, 5 - 4, 5) S = 283, 5 = 16, 84

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 , 8 4}{9} = 3, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 , 8 4}{7 , 5} = 4, 49 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 , 8 4}{4 , 5} = 7, 48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 5 ^{2} + 4 , 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 , 5 \cdot 4 , 5}) = 93 ° 4 9^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 4 , 5 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 4 , 5}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 93 ° 4 9^{'} 21 " - 56 ° 1 5^{'} 4 " = 29 ° 5 5^{'} 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 , 8 4}{1 0 , 5} = 1, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 7 , 5 \cdot 4 , 5}{4 \cdot 1 , 6 0 4 \cdot 1 0 , 5} = 4, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 4 , 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 4, 243 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 6, 047 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 4 , 5 ^{2}}{2} = 7, 973

Vypočítať ďaľší trojuholník