Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Rovnostranný trojuholník.
Strany: a = 9,12 b = 9,12 c = 9,12Obsah trojuholníka: S = 36,01655716723
Obvod trojuholníka: o = 27,36
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,68
Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad
Výška trojuholníka: va = 7,89881516825
Výška trojuholníka: vb = 7,89881516825
Výška trojuholníka: vc = 7,89881516825
Ťažnica: ta = 7,89881516825
Ťažnica: tb = 7,89881516825
Ťažnica: tc = 7,89881516825
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,63327172275
Polomer opísanej kružnice: R = 5,2655434455
Súradnice vrcholov: A[9,12; 0] B[0; 0] C[4,56; 7,89881516825]
Ťažisko: T[4,56; 2,63327172275]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,56; 2,63327172275]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,56; 2,63327172275]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9,12 b=9,12 c=9,12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9,12+9,12+9,12=27,36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227,36=13,68
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,68(13,68−9,12)(13,68−9,12)(13,68−9,12) S=1297,12=36,02
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=9,122⋅ 36,02=7,9 vb=b2 S=9,122⋅ 36,02=7,9 vc=c2 S=9,122⋅ 36,02=7,9
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9,12⋅ 9,129,122+9,122−9,122)=60° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9,12⋅ 9,129,122+9,122−9,122)=60° γ=180°−α−β=180°−60°−60°=60°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,6836,02=2,63
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,633⋅ 13,689,12⋅ 9,12⋅ 9,12=5,27
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 9,122+2⋅ 9,122−9,122=7,898 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 9,122+2⋅ 9,122−9,122=7,898 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 9,122+2⋅ 9,122−9,122=7,898
Vypočítať ďaľší trojuholník