Trojuholník 10 10 17
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 10
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 44,77765284496
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 31,78883306171° = 31°47'18″ = 0,5554811033 rad
Uhol ∠ B = β = 31,78883306171° = 31°47'18″ = 0,5554811033 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,42333387659° = 116°25'24″ = 2,03219705876 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,95553056899
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,95553056899
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,26878268764
Ťažnica: ta = 13,01992165663
Ťažnica: tb = 13,01992165663
Ťažnica: tc = 5,26878268764
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,42203528892
Polomer opísanej kružnice: R = 9,49215799575
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[8,5; 5,26878268764]
Ťažisko: T[8,5; 1,75659422921]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -4,22437530811]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 2,42203528892]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,2121669383° = 148°12'42″ = 0,5554811033 rad
∠ B' = β' = 148,2121669383° = 148°12'42″ = 0,5554811033 rad
∠ C' = γ' = 63,57766612341° = 63°34'36″ = 2,03219705876 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=10 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+10+17=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−10)(18,5−10)(18,5−17) S=2004,94=44,78
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 44,78=8,96 vb=b2 S=102⋅ 44,78=8,96 vc=c2 S=172⋅ 44,78=5,27
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−102)=31°47′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−102)=31°47′18" γ=180°−α−β=180°−31°47′18"−31°47′18"=116°25′24"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,544,78=2,42
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,42⋅ 18,510⋅ 10⋅ 17=9,49
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 172−102=13,019 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 102−102=13,019 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−172=5,268
Vypočítať ďaľší trojuholník