Trojuholník 10 11 13

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 11
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 53,44215568635
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 48,36986204606° = 48°22'7″ = 0,84441916817 rad
Uhol ∠ B = β = 55,30333976437° = 55°18'12″ = 0,96552263764 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,32879818956° = 76°19'41″ = 1,33221745955 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,68883113727
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,71766467025
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,2221777979

Ťažnica: t_a = 10,95444511501
Ťažnica: t_b = 10,21102889283
Ťažnica: t_c = 8,26113558209

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,1443620992
Polomer opísanej kružnice: R = 6,69895506228

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,69223076923; 8,2221777979]
Ťažisko: T[6,23107692308; 2,74105926597]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 1,58111665108]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,1443620992]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,63113795394° = 131°37'53″ = 0,84441916817 rad
∠ B' = β' = 124,69766023563° = 124°41'48″ = 0,96552263764 rad
∠ C' = γ' = 103,67220181044° = 103°40'19″ = 1,33221745955 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 11 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 11 + 13 = 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 10) (17 - 11) (17 - 13) S = 2856 = 53, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 3 , 4 4}{1 0} = 10, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 3 , 4 4}{1 1} = 9, 72 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 3 , 4 4}{1 3} = 8, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 48 ° 2 2^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 3}) = 55 ° 1 8^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 2 2^{'} 7 " - 55 ° 1 8^{'} 12 " = 76 ° 1 9^{'} 41 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 3 , 4 4}{1 7} = 3, 14

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 3 , 1 4 4 \cdot 1 7} = 6, 69

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 10, 954 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 21 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 8, 261

Vypočítať ďaľší trojuholník