Trojuholník 10 12 13

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 12
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 56,99550655759
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Uhol ∠ A = α = 46,94656106092° = 46°56'44″ = 0,81993554745 rad
Uhol ∠ B = β = 61,26443462551° = 61°15'52″ = 1,06992645562 rad
Uhol ∠ C = γ = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,25329726229 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 11,39990131152
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,4999177596
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,76884716271

Ťažnica: t_a = 11,46773449412
Ťažnica: t_b = 9,92547166206
Ťažnica: t_c = 8,93302855497

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,25768608901
Polomer opísanej kružnice: R = 6,84326976276

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[4,80876923077; 8,76884716271]
Ťažisko: T[5,93658974359; 2,92328238757]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 2,13883430086]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,25768608901]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,05443893908° = 133°3'16″ = 0,81993554745 rad
∠ B' = β' = 118,73656537449° = 118°44'8″ = 1,06992645562 rad
∠ C' = γ' = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,25329726229 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 12 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 12 + 13 = 35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 10) (17, 5 - 12) (17, 5 - 13) S = 3248, 44 = 57

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 7}{1 0} = 11, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 7}{1 2} = 9, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 7}{1 3} = 8, 77

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 46 ° 5 6^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 3}) = 61 ° 1 5^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 5 6^{'} 44 " - 61 ° 1 5^{'} 52 " = 71 ° 4 7^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 7}{1 7 , 5} = 3, 26

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 1 3}{4 \cdot 3 , 2 5 7 \cdot 1 7 , 5} = 6, 84

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 11, 467 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 925 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 8, 93

Vypočítať ďaľší trojuholník