Trojuholník 10 12 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 12
c = 15

Obsah trojuholníka: S = 59,81216836412
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Uhol ∠ A = α = 41,65496722739° = 41°38'59″ = 0,72769239136 rad
Uhol ∠ B = β = 52,89109950542° = 52°53'28″ = 0,92331220084 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,45993326719° = 85°27'34″ = 1,49215467317 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 11,96223367282
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,96986139402
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,97548911522

Ťažnica: t_a = 12,62993309403
Ťažnica: t_b = 11,24772218792
Ťažnica: t_c = 8,10986373701

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,23330639806
Polomer opísanej kružnice: R = 7,52436136588

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,03333333333; 7,97548911522]
Ťažisko: T[7,01111111111; 2,65882970507]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,59656194147]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,23330639806]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,35503277261° = 138°21'1″ = 0,72769239136 rad
∠ B' = β' = 127,10990049458° = 127°6'32″ = 0,92331220084 rad
∠ C' = γ' = 94,54106673281° = 94°32'26″ = 1,49215467317 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 12 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 12 + 15 = 37

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7}{2} = 18, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 5 (18, 5 - 10) (18, 5 - 12) (18, 5 - 15) S = 3577, 44 = 59, 81

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 9 , 8 1}{1 0} = 11, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 9 , 8 1}{1 2} = 9, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 9 , 8 1}{1 5} = 7, 97

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5}) = 41 ° 3 8^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 52 ° 5 3^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 3 8^{'} 59 " - 52 ° 5 3^{'} 28 " = 85 ° 2 7^{'} 34 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 9 , 8 1}{1 8 , 5} = 3, 23

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 2 3 3 \cdot 1 8 , 5} = 7, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 12, 629 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 11, 247 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 8, 109

Vypočítať ďaľší trojuholník