Trojuholník 10 13 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 13 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 36,5550478793
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 14,80990077489° = 14°48'32″ = 0,25884659442 rad
Uhol ∠ B = β = 19,40770433824° = 19°24'25″ = 0,33987168051 rad
Uhol ∠ C = γ = 145,78439488687° = 145°47'2″ = 2,54444099043 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,31100957586
Výška trojuholníka: v_b = 5,62331505835
Výška trojuholníka: v_c = 3,32327707994

Ťažnica: t_a = 17,36437553542
Ťažnica: t_b = 15,80334806293
Ťažnica: t_c = 3,67442346142

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,62444657241
Polomer opísanej kružnice: R = 19,56219872464

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,43218181818; 3,32327707994]
Ťažisko: T[10,47772727273; 1,10875902665]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -16,17662586845]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,62444657241]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,19109922511° = 165°11'28″ = 0,25884659442 rad
∠ B' = β' = 160,59329566176° = 160°35'35″ = 0,33987168051 rad
∠ C' = γ' = 34,21660511313° = 34°12'58″ = 2,54444099043 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 13 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 13 + 22 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 10) (22, 5 - 13) (22, 5 - 22) S = 1335, 94 = 36, 55

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 5 5}{1 0} = 7, 31 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 5 5}{1 3} = 5, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 5 5}{2 2} = 3, 32

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 2}) = 14 ° 4 8^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 2}) = 19 ° 2 4^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 4 8^{'} 32 " - 19 ° 2 4^{'} 25 " = 145 ° 4 7^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 5 5}{2 2 , 5} = 1, 62

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 3 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 6 2 4 \cdot 2 2 , 5} = 19, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 17, 364 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 15, 803 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 3, 674

Vypočítať ďaľší trojuholník