Trojuholník 10 15 17

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 15
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 74,45880418759
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 35,731129198° = 35°43'53″ = 0,6243628691 rad
Uhol ∠ B = β = 61,16108105994° = 61°9'39″ = 1,06774575181 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,45105064444 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 14,89216083752
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,92877389168
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,76597696325

Ťažnica: t_a = 15,23215462117
Ťažnica: t_b = 11,75879760163
Ťažnica: t_c = 9,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,54656210417
Polomer opísanej kružnice: R = 8,56218689928

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[4,82435294118; 8,76597696325]
Ťažisko: T[7,27545098039; 2,92199232108]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 1,02774242791]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,54656210417]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,269870802° = 144°16'7″ = 0,6243628691 rad
∠ B' = β' = 118,83991894006° = 118°50'21″ = 1,06774575181 rad
∠ C' = γ' = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,45105064444 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 15 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 15 + 17 = 42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 10) (21 - 15) (21 - 17) S = 5544 = 74, 46

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 4 , 4 6}{1 0} = 14, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 4 , 4 6}{1 5} = 9, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 4 , 4 6}{1 7} = 8, 76

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 35 ° 4 3^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 61 ° 9^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 4 3^{'} 53 " - 61 ° 9^{'} 39 " = 83 ° 6^{'} 28 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 4 , 4 6}{2 1} = 3, 55

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 5 4 6 \cdot 2 1} = 8, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 15, 232 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 11, 758 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 9, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník