Trojuholník 10 16 17

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 16
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 78,22768336314
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 35,11334508335° = 35°6'48″ = 0,61328453288 rad
Uhol ∠ B = β = 66,97222773387° = 66°58'20″ = 1,16988867471 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,91442718278° = 77°54'51″ = 1,36598605777 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 15,64553667263
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,77883542039
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,20331568978

Ťažnica: t_a = 15,73221327226
Ťažnica: t_b = 11,42436596588
Ťažnica: t_c = 10,28334819006

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,63884573782
Polomer opísanej kružnice: R = 8,69326693621

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[3,91217647059; 9,20331568978]
Ťažisko: T[6,97105882353; 3,06877189659]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 1,82200276477]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,63884573782]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,88765491665° = 144°53'12″ = 0,61328453288 rad
∠ B' = β' = 113,02877226613° = 113°1'40″ = 1,16988867471 rad
∠ C' = γ' = 102,08657281722° = 102°5'9″ = 1,36598605777 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 16 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 7}) = 35 ° 6^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 66 ° 5 8^{'} 20 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 6^{'} 48 " - 66 ° 5 8^{'} 20 " = 77 ° 5 4^{'} 51 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 6 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 6 3 8 \cdot 2 1 , 5} = 8, 69

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník