Trojuholník 10 16 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 16
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 43,32994068734
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Uhol ∠ A = α = 12,51221731473° = 12°30'44″ = 0,2188378618 rad
Uhol ∠ B = β = 20,2821649813° = 20°16'54″ = 0,3543981567 rad
Uhol ∠ C = γ = 147,20661770397° = 147°12'22″ = 2,56992324686 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,66658813747
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,41661758592
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,46663525499

Ťažnica: t_a = 20,38438171106
Ťažnica: t_b = 17,27771525432
Ťažnica: t_c = 4,66436895265

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,69991924264
Polomer opísanej kružnice: R = 23,07990142806

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[9,38; 3,46663525499]
Ťažisko: T[11,46; 1,155545085]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -19,40107963796]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,69991924264]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,48878268527° = 167°29'16″ = 0,2188378618 rad
∠ B' = β' = 159,71883501871° = 159°43'6″ = 0,3543981567 rad
∠ C' = γ' = 32,79438229603° = 32°47'38″ = 2,56992324686 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 16 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 16 + 25 = 51

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 10) (25, 5 - 16) (25, 5 - 25) S = 1877, 44 = 43, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 3 3}{1 0} = 8, 67 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 3 3}{1 6} = 5, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 3 3}{2 5} = 3, 47

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}) = 12 ° 3 0^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 5}) = 20 ° 1 6^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 3 0^{'} 44 " - 20 ° 1 6^{'} 54 " = 147 ° 1 2^{'} 22 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 3 3}{2 5 , 5} = 1, 7

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 6 \cdot 2 5}{4 \cdot 1 , 6 9 9 \cdot 2 5 , 5} = 23, 08

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 20, 384 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 17, 277 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 4, 664

Vypočítať ďaľší trojuholník