Trojuholník 10 20 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 20 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 94,99217759598
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Uhol ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Uhol ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,9988355192
Výška trojuholníka: v_b = 9,4999177596
Výška trojuholníka: v_c = 7,59993420768

Ťažnica: t_a = 22,07994021658
Ťažnica: t_b = 16,2021851746
Ťažnica: t_c = 9,68224583655

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,45442463985
Polomer opísanej kružnice: R = 13,15990338992

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[6,5; 7,59993420768]
Ťažisko: T[10,5; 2,53331140256]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -4,11221980935]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,45442463985]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 20 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 20 + 25 = 55

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 10) (27, 5 - 20) (27, 5 - 25) S = 9023, 44 = 94, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 4 , 9 9}{1 0} = 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 4 , 9 9}{2 0} = 9, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 4 , 9 9}{2 5} = 7, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 5}) = 22 ° 1 9^{'} 54 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 5}) = 49 ° 2 7^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 9^{'} 54 " - 49 ° 2 7^{'} 30 " = 108 ° 1 2^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 4 , 9 9}{2 7 , 5} = 3, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 0 \cdot 2 5}{4 \cdot 3 , 4 5 4 \cdot 2 7 , 5} = 13, 16

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 22, 079 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 16, 202 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 9, 682

Vypočítať ďaľší trojuholník