Trojuholník 10 20 27

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 20
c = 27

Obsah trojuholníka: S = 81,99904720074
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 17,6788070483° = 17°40'41″ = 0,30985405353 rad
Uhol ∠ B = β = 37,39771865213° = 37°23'50″ = 0,65327040358 rad
Uhol ∠ C = γ = 124,92547429957° = 124°55'29″ = 2,18803480825 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 16,39880944015
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 8,19990472007
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,07333682968

Ťažnica: t_a = 23,22771392987
Ťažnica: t_b = 17,7344147851
Ťažnica: t_c = 8,23110388166

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,87768586669
Polomer opísanej kružnice: R = 16,46553278234

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[7,94444444444; 6,07333682968]
Ťažisko: T[11,64881481481; 2,02444560989]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -9,42664001789]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 2,87768586669]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,3221929517° = 162°19'19″ = 0,30985405353 rad
∠ B' = β' = 142,60328134787° = 142°36'10″ = 0,65327040358 rad
∠ C' = γ' = 55,07552570043° = 55°4'31″ = 2,18803480825 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 20 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 20 + 27 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 10) (28, 5 - 20) (28, 5 - 27) S = 6722, 44 = 81, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 1 , 9 9}{1 0} = 16, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 1 , 9 9}{2 0} = 8, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 1 , 9 9}{2 7} = 6, 07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 7}) = 17 ° 4 0^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 7}) = 37 ° 2 3^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 4 0^{'} 41 " - 37 ° 2 3^{'} 50 " = 124 ° 5 5^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 1 , 9 9}{2 8 , 5} = 2, 88

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 0 \cdot 2 7}{4 \cdot 2 , 8 7 7 \cdot 2 8 , 5} = 16, 47

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 23, 227 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 17, 734 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 8, 231

Vypočítať ďaľší trojuholník