Trojuholník 10 20 29

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 20
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 52,2732722332
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 10,38443665905° = 10°23'4″ = 0,18112413877 rad
Uhol ∠ B = β = 21,1311000091° = 21°7'52″ = 0,36988055258 rad
Uhol ∠ C = γ = 148,48546333185° = 148°29'5″ = 2,592154574 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,45545444664
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,22772722332
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,60550153332

Ťažnica: t_a = 24,40328686838
Ťažnica: t_b = 19,24883765549
Ťažnica: t_c = 6,30547601065

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,77219566892
Polomer opísanej kružnice: R = 27,73991330566

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[9,32875862069; 3,60550153332]
Ťažisko: T[12,7765862069; 1,20216717777]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -23,64876109308]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,77219566892]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,61656334095° = 169°36'56″ = 0,18112413877 rad
∠ B' = β' = 158,8698999909° = 158°52'8″ = 0,36988055258 rad
∠ C' = γ' = 31,51553666815° = 31°30'55″ = 2,592154574 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 20 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 20 + 29 = 59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 10) (29, 5 - 20) (29, 5 - 29) S = 2732, 44 = 52, 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 , 2 7}{1 0} = 10, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 , 2 7}{2 0} = 5, 23 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 , 2 7}{2 9} = 3, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 10 ° 2 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 9}) = 21 ° 7^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 2 3^{'} 4 " - 21 ° 7^{'} 52 " = 148 ° 2 9^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 , 2 7}{2 9 , 5} = 1, 77

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 0 \cdot 2 9}{4 \cdot 1 , 7 7 2 \cdot 2 9 , 5} = 27, 74

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 24, 403 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 19, 248 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 6, 305

Vypočítať ďaľší trojuholník