Trojuholník 11 11 12

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 11
b = 11
c = 12

Obsah trojuholníka: S = 55,31772667438
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 56,94442688491° = 56°56'39″ = 0,99438649816 rad
Uhol ∠ B = β = 56,94442688491° = 56°56'39″ = 0,99438649816 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,11114623017° = 66°6'41″ = 1,15438626905 rad

Výška trojuholníka na stranu a : v_a = 10,05876848625
Výška trojuholníka na stranu b : v_b = 10,05876848625
Výška trojuholníka na stranu c : v_c = 9,22195444573

Ťažnica: t_a = 10,11218742081
Ťažnica: t_b = 10,11218742081
Ťažnica: t_c = 9,22195444573

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,25439568673
Polomer opísanej kružnice: R = 6,5622146349

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[6; 9,22195444573]
Ťažisko: T[6; 3,07331814858]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 2,65773981083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,25439568673]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,05657311509° = 123°3'21″ = 0,99438649816 rad
∠ B' = β' = 123,05657311509° = 123°3'21″ = 0,99438649816 rad
∠ C' = γ' = 113,88985376983° = 113°53'19″ = 1,15438626905 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 11 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 11 + 12 = 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 11) (17 - 11) (17 - 12) S = 3060 = 55, 32

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 2}{1 1} = 10, 06 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 2}{1 1} = 10, 06 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 2}{1 2} = 9, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 56 ° 5 6^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 56 ° 5 6^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 56 ° 5 6^{'} 39 " - 56 ° 5 6^{'} 39 " = 66 ° 6^{'} 41 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 3 2}{1 7} = 3, 25

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 3 , 2 5 4 \cdot 1 7} = 6, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 112 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 112 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 22

Vypočítať ďaľší trojuholník