Trojuholník 11 13 17
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 13 c = 17Obsah trojuholníka: S = 71.54995629357
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 40,32199178356° = 40°19'12″ = 0,70437153204 rad
Uhol ∠ B = β = 49,8880417466° = 49°52'50″ = 0,87105775171 rad
Uhol ∠ C = γ = 89.87996646984° = 89°47'59″ = 1,56772998162 rad
Výška trojuholníka: va = 132,9999205338
Výška trojuholníka: vb = 110,9999327593
Výška trojuholníka: vc = 8,41217132866
Ťažnica: ta = 14,09878721799
Ťažnica: tb = 12,75773508222
Ťažnica: tc = 8,52993610546
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,48877835578
Polomer opísanej kružnice: R = 8.5500051959
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,08882352941; 8,41217132866]
Ťažisko: T[8,02994117647; 2,80439044289]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 0,03297204614]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,48877835578]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,68800821644° = 139°40'48″ = 0,70437153204 rad
∠ B' = β' = 130,1219582534° = 130°7'10″ = 0,87105775171 rad
∠ C' = γ' = 90.22003353016° = 90°12'1″ = 1,56772998162 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=13 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+13+17=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−11)(20,5−13)(20,5−17) S=5112,19=71,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 71,5=13 vb=b2 S=132⋅ 71,5=11 vc=c2 S=172⋅ 71,5=8,41
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 17132+172−112)=40°19′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 17112+172−132)=49°52′50" γ=180°−α−β=180°−40°19′12"−49°52′50"=89°47′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,571,5=3,49
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,488⋅ 20,511⋅ 13⋅ 17=8,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 172−112=14,098 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 112−132=12,757 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 132−172=8,529
Vypočítať ďaľší trojuholník