Trojuholník 11 13 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 11
b = 13
c = 22

Obsah trojuholníka: S = 52,53657021463
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 21,55442815764° = 21°33'15″ = 0,37661931814 rad
Uhol ∠ B = β = 25,73330865544° = 25°43'59″ = 0,44991270871 rad
Uhol ∠ C = γ = 132,71326318692° = 132°42'45″ = 2,31662723851 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,55219458448
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 8,08224157148
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,77659729224

Ťažnica: t_a = 17,21219144781
Ťažnica: t_b = 16,13222658049
Ťažnica: t_c = 4,89989794856

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,28441609629
Polomer opísanej kružnice: R = 14,97107716442

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,90990909091; 4,77659729224]
Ťažisko: T[10,63663636364; 1,59219909741]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -10,15549989475]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 2,28441609629]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,44657184236° = 158°26'45″ = 0,37661931814 rad
∠ B' = β' = 154,26769134456° = 154°16'1″ = 0,44991270871 rad
∠ C' = γ' = 47,28773681308° = 47°17'15″ = 2,31662723851 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 13 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 13 + 22 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 11) (23 - 13) (23 - 22) S = 2760 = 52, 54

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 , 5 4}{1 1} = 9, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 , 5 4}{1 3} = 8, 08 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 , 5 4}{2 2} = 4, 78

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 2}) = 21 ° 3 3^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 2}) = 25 ° 4 3^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 3 3^{'} 15 " - 25 ° 4 3^{'} 59 " = 132 ° 4 2^{'} 45 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 , 5 4}{2 3} = 2, 28

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 3 \cdot 2 2}{4 \cdot 2 , 2 8 4 \cdot 2 3} = 14, 97

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 17, 212 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 16, 132 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 4, 899

Vypočítať ďaľší trojuholník