Trojuholník 11 14 18
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 11
b = 14
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 76,98801110677
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 37,65884620062° = 37°39'30″ = 0,65772641532 rad
Uhol ∠ B = β = 51,03992490586° = 51°2'21″ = 0,89108029438 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,30222889352° = 91°18'8″ = 1,59435255565 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,99663838305
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,9977158724
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,55333456742
Ťažnica: ta = 15,15875063912
Ťažnica: tb = 13,17219398723
Ťažnica: tc = 8,80334084308
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,58804702822
Polomer opísanej kružnice: R = 9,0022325281
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,91766666667; 8,55333456742]
Ťažisko: T[8,30655555556; 2,85111152247]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -0,20545983018]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,58804702822]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,34215379938° = 142°20'30″ = 0,65772641532 rad
∠ B' = β' = 128,96107509414° = 128°57'39″ = 0,89108029438 rad
∠ C' = γ' = 88,69877110648° = 88°41'52″ = 1,59435255565 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=14 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+14+18=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−11)(21,5−14)(21,5−18) S=5925,94=76,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 76,98=14 vb=b2 S=142⋅ 76,98=11 vc=c2 S=182⋅ 76,98=8,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−112)=37°39′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 18112+182−142)=51°2′21" γ=180°−α−β=180°−37°39′30"−51°2′21"=91°18′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,576,98=3,58
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,58⋅ 21,511⋅ 14⋅ 18=9
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−112=15,158 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 112−142=13,172 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 142−182=8,803
Vypočítať ďaľší trojuholník