Trojuholník 11 15 18
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 11
b = 15
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 82,3166462509
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 37,57215423252° = 37°34'18″ = 0,65657471186 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,50440801784 rad
Výška trojuholníka na stranu a : va = 14,96766295471
Výška trojuholníka na stranu b : vb = 10,97655283345
Výška trojuholníka na stranu c : vc = 9,14662736121
Ťažnica: ta = 15,62884996081
Ťažnica: tb = 12,89437969582
Ťažnica: tc = 9,59216630466
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,74216573868
Polomer opísanej kružnice: R = 9,02200669145
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,11111111111; 9,14662736121]
Ťažisko: T[8,0377037037; 3,04987578707]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 0,60113377943]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,74216573868]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,42884576748° = 142°25'42″ = 0,65657471186 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,50440801784 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=15 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+15+18=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−11)(22−15)(22−18) S=6776=82,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 82,32=14,97 vb=b2 S=152⋅ 82,32=10,98 vc=c2 S=182⋅ 82,32=9,15
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 18152+182−112)=37°34′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 18112+182−152)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−37°34′18"−56°15′4"=86°10′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2282,32=3,74
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,742⋅ 2211⋅ 15⋅ 18=9,02
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 182−112=15,628 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 112−152=12,894 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 152−182=9,592
Vypočítať ďaľší trojuholník