Trojuholník 11 20 22

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 11
b = 20
c = 22

Obsah trojuholníka: S = 109,61103895623
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 29,88329034608° = 29°52'58″ = 0,52215550554 rad
Uhol ∠ B = β = 64,94108471732° = 64°56'27″ = 1,13334316022 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,1766249366° = 85°10'34″ = 1,48766059959 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,92991617386
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10,96110389562
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,96545808693

Ťažnica: t_a = 20,29216238877
Ťažnica: t_b = 14,23302494708
Ťažnica: t_c = 11,8111011811

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,13662411156
Polomer opísanej kružnice: R = 11,03990995309

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[4,65990909091; 9,96545808693]
Ťažisko: T[8,88663636364; 3,32215269564]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 0,92882879151]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 4,13662411156]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,11770965392° = 150°7'2″ = 0,52215550554 rad
∠ B' = β' = 115,05991528268° = 115°3'33″ = 1,13334316022 rad
∠ C' = γ' = 94,8243750634° = 94°49'25″ = 1,48766059959 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 20 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 20 + 22 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 11) (26, 5 - 20) (26, 5 - 22) S = 12014, 44 = 109, 61

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 6 1}{1 1} = 19, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 6 1}{2 0} = 10, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 6 1}{2 2} = 9, 96

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 29 ° 5 2^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 2}) = 64 ° 5 6^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 2^{'} 58 " - 64 ° 5 6^{'} 27 " = 85 ° 1 0^{'} 34 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 9 , 6 1}{2 6 , 5} = 4, 14

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 1 3 6 \cdot 2 6 , 5} = 11, 04

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 20, 292 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 14, 23 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 11, 811

Vypočítať ďaľší trojuholník