Trojuholník 11 30 30
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 30 c = 30Obsah trojuholníka: S = 162,20333831336
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5
Uhol ∠ A = α = 21,12879551781° = 21°7'41″ = 0,36987523821 rad
Uhol ∠ B = β = 79,43660224109° = 79°26'10″ = 1,38664201358 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,43660224109° = 79°26'10″ = 1,38664201358 rad
Výška trojuholníka: va = 29,49215242061
Výška trojuholníka: vb = 10,81435588756
Výška trojuholníka: vc = 10,81435588756
Ťažnica: ta = 29,49215242061
Ťažnica: tb = 16,89767452487
Ťažnica: tc = 16,89767452487
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,5699109384
Polomer opísanej kružnice: R = 15,25986213196
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[2,01766666667; 10,81435588756]
Ťažisko: T[10,67222222222; 3,60545196252]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 2,79774139086]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 4,5699109384]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,87220448219° = 158°52'19″ = 0,36987523821 rad
∠ B' = β' = 100,56439775891° = 100°33'50″ = 1,38664201358 rad
∠ C' = γ' = 100,56439775891° = 100°33'50″ = 1,38664201358 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=30 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+30+30=71
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=271=35,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35,5(35,5−11)(35,5−30)(35,5−30) S=26309,94=162,2
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 162,2=29,49 vb=b2 S=302⋅ 162,2=10,81 vc=c2 S=302⋅ 162,2=10,81
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 30302+302−112)=21°7′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 30112+302−302)=79°26′10" γ=180°−α−β=180°−21°7′41"−79°26′10"=79°26′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35,5162,2=4,57
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,569⋅ 35,511⋅ 30⋅ 30=15,26
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 302−112=29,492 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 112−302=16,897 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 302−302=16,897
Vypočítať ďaľší trojuholník