Trojuholník 12 12 13
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 12
c = 13
Obsah trojuholníka: S = 65,5666283256
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 57,20328317042° = 57°12'10″ = 0,99883777547 rad
Uhol ∠ B = β = 57,20328317042° = 57°12'10″ = 0,99883777547 rad
Uhol ∠ C = γ = 65,59443365916° = 65°35'40″ = 1,14548371442 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 10,9287713876
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,9287713876
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,08771205009
Ťažnica: ta = 10,97772492001
Ťažnica: tb = 10,97772492001
Ťažnica: tc = 10,08771205009
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,54441234192
Polomer opísanej kružnice: R = 7,13878149982
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[6,5; 10,08771205009]
Ťažisko: T[6,5; 3,36223735003]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 2,94993055027]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,54441234192]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 122,79771682958° = 122°47'50″ = 0,99883777547 rad
∠ B' = β' = 122,79771682958° = 122°47'50″ = 0,99883777547 rad
∠ C' = γ' = 114,40656634084° = 114°24'20″ = 1,14548371442 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=12 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+12+13=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−12)(18,5−12)(18,5−13) S=4298,94=65,57
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 65,57=10,93 vb=b2 S=122⋅ 65,57=10,93 vc=c2 S=132⋅ 65,57=10,09
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 13122+132−122)=57°12′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 13122+132−122)=57°12′10" γ=180°−α−β=180°−57°12′10"−57°12′10"=65°35′40"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,565,57=3,54
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,544⋅ 18,512⋅ 12⋅ 13=7,14
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 132−122=10,977 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 122−122=10,977 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 122−132=10,087
Vypočítať ďaľší trojuholník