Trojuholník 12 12 15
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 12
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 70,2566227482
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Uhol ∠ A = α = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Uhol ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,35502630659 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,7099371247
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,7099371247
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,36774969976
Ťažnica: ta = 12,1866057607
Ťažnica: tb = 12,1866057607
Ťažnica: tc = 9,36774969976
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,60328834606
Polomer opísanej kružnice: R = 7,68661513826
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 9,36774969976]
Ťažisko: T[7,5; 3,12224989992]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 1,6811345615]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,60328834606]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,35502630659 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=12 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+12+15=39
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−12)(19,5−12)(19,5−15) S=4935,94=70,26
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 70,26=11,71 vb=b2 S=122⋅ 70,26=11,71 vc=c2 S=152⋅ 70,26=9,37
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−122)=51°19′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−122)=51°19′4" γ=180°−α−β=180°−51°19′4"−51°19′4"=77°21′52"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=19,570,26=3,6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,603⋅ 19,512⋅ 12⋅ 15=7,69
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−122=12,186 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 122−122=12,186 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 122−152=9,367
Vypočítať ďaľší trojuholník