Trojuholník 12 12 17
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 12
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 721,9995659709
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 44,90105279607° = 44°54'2″ = 0,78436620488 rad
Uhol ∠ B = β = 44,90105279607° = 44°54'2″ = 0,78436620488 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,19989440786° = 90°11'56″ = 1,5744268556 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 121,9999276618
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 121,9999276618
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,4710537173
Ťažnica: ta = 13,43550288425
Ťažnica: tb = 13,43550288425
Ťažnica: tc = 8,4710537173
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,51221739498
Polomer opísanej kružnice: R = 8.55000512399
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[8,5; 8,4710537173]
Ťažisko: T[8,5; 2,8243512391]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -0,03295140668]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 3,51221739498]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,09994720393° = 135°5'58″ = 0,78436620488 rad
∠ B' = β' = 135,09994720393° = 135°5'58″ = 0,78436620488 rad
∠ C' = γ' = 89,80110559214° = 89°48'4″ = 1,5744268556 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=12 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+12+17=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−12)(20,5−12)(20,5−17) S=5183,94=72
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 72=12 vb=b2 S=122⋅ 72=12 vc=c2 S=172⋅ 72=8,47
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−122)=44°54′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−122)=44°54′2" γ=180°−α−β=180°−44°54′2"−44°54′2"=90°11′56"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,572=3,51
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,512⋅ 20,512⋅ 12⋅ 17=8,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 172−122=13,435 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 122−122=13,435 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 122−172=8,471
Vypočítať ďaľší trojuholník