Trojuholník 12 12 23
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 12 c = 23Obsah trojuholníka: S = 39,42200139523
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5
Uhol ∠ A = α = 16,59878421359° = 16°35'52″ = 0,2989686994 rad
Uhol ∠ B = β = 16,59878421359° = 16°35'52″ = 0,2989686994 rad
Uhol ∠ C = γ = 146,80443157283° = 146°48'16″ = 2,56222186656 rad
Výška trojuholníka: va = 6,57700023254
Výška trojuholníka: vb = 6,57700023254
Výška trojuholníka: vc = 3,42878273002
Ťažnica: ta = 17,33549358234
Ťažnica: tb = 17,33549358234
Ťažnica: tc = 3,42878273002
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,67774474022
Polomer opísanej kružnice: R = 21,00545587757
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[11,5; 3,42878273002]
Ťažisko: T[11,5; 1,14326091001]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -17,57767314755]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 1,67774474022]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,40221578641° = 163°24'8″ = 0,2989686994 rad
∠ B' = β' = 163,40221578641° = 163°24'8″ = 0,2989686994 rad
∠ C' = γ' = 33,19656842717° = 33°11'44″ = 2,56222186656 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=12 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+12+23=47
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=247=23,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23,5(23,5−12)(23,5−12)(23,5−23) S=1553,94=39,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 39,42=6,57 vb=b2 S=122⋅ 39,42=6,57 vc=c2 S=232⋅ 39,42=3,43
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 23122+232−122)=16°35′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 23122+232−122)=16°35′52" γ=180°−α−β=180°−16°35′52"−16°35′52"=146°48′16"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=23,539,42=1,68
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,677⋅ 23,512⋅ 12⋅ 23=21
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 232−122=17,335 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 122−122=17,335 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 122−232=3,428
Vypočítať ďaľší trojuholník