Trojuholník 12 14 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 14
c = 15

Obsah trojuholníka: S = 78,92767856941
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Uhol ∠ A = α = 48,73664340939° = 48°44'11″ = 0,85106112406 rad
Uhol ∠ B = β = 61,27883074912° = 61°16'42″ = 1,07695082258 rad
Uhol ∠ C = γ = 69,98552584149° = 69°59'7″ = 1,22114731872 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 13,15444642823
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,27552550992
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,52435714259

Ťažnica: t_a = 13,21098448136
Ťažnica: t_b = 11,64404467268
Ťažnica: t_c = 10,66553645039

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,8550087107
Polomer opísanej kružnice: R = 7,98220810446

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,76766666667; 10,52435714259]
Ťažisko: T[6,92222222222; 3,5087857142]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 2,73219622623]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,8550087107]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,26435659061° = 131°15'49″ = 0,85106112406 rad
∠ B' = β' = 118,72216925088° = 118°43'18″ = 1,07695082258 rad
∠ C' = γ' = 110,01547415851° = 110°53″ = 1,22114731872 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 14 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 14 + 15 = 41

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 12) (20, 5 - 14) (20, 5 - 15) S = 6229, 44 = 78, 93

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 8 , 9 3}{1 2} = 13, 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 8 , 9 3}{1 4} = 11, 28 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 8 , 9 3}{1 5} = 10, 52

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 48 ° 4 4^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5}) = 61 ° 1 6^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 4 4^{'} 11 " - 61 ° 1 6^{'} 42 " = 69 ° 5 9^{'} 7 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 8 , 9 3}{2 0 , 5} = 3, 85

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 8 5 \cdot 2 0 , 5} = 7, 98

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 13, 21 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 11, 64 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 665

Vypočítať ďaľší trojuholník