Trojuholník 12 14 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 14
c = 18

Obsah trojuholníka: S = 83,90547078536
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Uhol ∠ A = α = 41,7522205202° = 41°45'8″ = 0,72987134507 rad
Uhol ∠ B = β = 50,97771974348° = 50°58'38″ = 0,89897199387 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,27105973632° = 87°16'14″ = 1,52331592642 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 13,98441179756
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,98663868362
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,32327453171

Ťažnica: t_a = 14,96766295471
Ťažnica: t_b = 13,60114705087
Ťažnica: t_c = 9,43439811321

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,8143850357
Polomer opísanej kružnice: R = 9,01102214684

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[7,55655555556; 9,32327453171]
Ťažisko: T[8,51985185185; 3,10875817724]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 0,42990581652]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,8143850357]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,2487794798° = 138°14'52″ = 0,72987134507 rad
∠ B' = β' = 129,02328025652° = 129°1'22″ = 0,89897199387 rad
∠ C' = γ' = 92,72994026368° = 92°43'46″ = 1,52331592642 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 14 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 14 + 18 = 44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 12) (22 - 14) (22 - 18) S = 7040 = 83, 9

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 3 , 9}{1 2} = 13, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 3 , 9}{1 4} = 11, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 3 , 9}{1 8} = 9, 32

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 8}) = 41 ° 4 5^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 8}) = 50 ° 5 8^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 5^{'} 8 " - 50 ° 5 8^{'} 38 " = 87 ° 1 6^{'} 14 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 3 , 9}{2 2} = 3, 81

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 4 \cdot 1 8}{4 \cdot 3 , 8 1 4 \cdot 2 2} = 9, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 14, 967 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 13, 601 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 9, 434

Vypočítať ďaľší trojuholník