Trojuholník 12 14 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 14
c = 22

Obsah trojuholníka: S = 75,8954663844
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 29,52662652473° = 29°31'35″ = 0,51553305444 rad
Uhol ∠ B = β = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,37769335252° = 115°22'37″ = 2,01437073709 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 12,64991106407
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10,84220948349
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6.98995148949

Ťažnica: t_a = 17,43655957742
Ťažnica: t_b = 16,27988205961
Ťažnica: t_c = 7

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,16222776602
Polomer opísanej kružnice: R = 12,17547689916

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,81881818182; 6.98995148949]
Ťažisko: T[10,60660606061; 2.32998382983]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -5,21877581393]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 3,16222776602]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,47437347527° = 150°28'25″ = 0,51553305444 rad
∠ B' = β' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ C' = γ' = 64,62330664748° = 64°37'23″ = 2,01437073709 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 14 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 14 + 22 = 48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 12) (24 - 14) (24 - 22) S = 5760 = 75, 89

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 , 8 9}{1 2} = 12, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 , 8 9}{1 4} = 10, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 , 8 9}{2 2} = 6, 9

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 2}) = 29 ° 3 1^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 2}) = 35 ° 5^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 3 1^{'} 35 " - 35 ° 5^{'} 48 " = 115 ° 2 2^{'} 37 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 , 8 9}{2 4} = 3, 16

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 4 \cdot 2 2}{4 \cdot 3 , 1 6 2 \cdot 2 4} = 12, 17

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 17, 436 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 16, 279 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 7

Vypočítať ďaľší trojuholník