Trojuholník 12 15 16
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 15
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 85,45113750621
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 45,40656099767° = 45°24'20″ = 0,7922477393 rad
Uhol ∠ B = β = 62,88881400862° = 62°53'17″ = 1,0987605105 rad
Uhol ∠ C = γ = 71,70662499371° = 71°42'22″ = 1,25215101557 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 14,24218958437
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,39435166749
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,68114218828
Ťažnica: ta = 14.33003496461
Ťažnica: tb = 11,99895788083
Ťažnica: tc = 10,97772492001
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,9744482561
Polomer opísanej kružnice: R = 8,42658445166
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[5,469875; 10,68114218828]
Ťažisko: T[7,156625; 3,56604739609]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 2,64547789733]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,9744482561]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,59443900233° = 134°35'40″ = 0,7922477393 rad
∠ B' = β' = 117,11218599138° = 117°6'43″ = 1,0987605105 rad
∠ C' = γ' = 108,29437500629° = 108°17'37″ = 1,25215101557 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=15 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+15+16=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−12)(21,5−15)(21,5−16) S=7301,94=85,45
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 85,45=14,24 vb=b2 S=152⋅ 85,45=11,39 vc=c2 S=162⋅ 85,45=10,68
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 16152+162−122)=45°24′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 16122+162−152)=62°53′17" γ=180°−α−β=180°−45°24′20"−62°53′17"=71°42′22"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,585,45=3,97
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,974⋅ 21,512⋅ 15⋅ 16=8,43
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 162−122=14,3 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 122−152=11,99 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 152−162=10,977
Vypočítať ďaľší trojuholník