Trojuholník 12 15 17

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 15
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 87,75496438739
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Uhol ∠ A = α = 43,4990358347° = 43°29'25″ = 0,7599049946 rad
Uhol ∠ B = β = 59,34992300599° = 59°20'57″ = 1,03658394731 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,16604115931° = 77°9'37″ = 1,34767032345 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 14,62549406457
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11.76999525165
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,32334875146

Ťažnica: t_a = 14,86660687473
Ťažnica: t_b = 12,65989889012
Ťažnica: t_c = 10,59548100502

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,98986201761
Polomer opísanej kružnice: R = 8,71879840992

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,11876470588; 10,32334875146]
Ťažisko: T[7,70658823529; 3,44111625049]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 1,93773297998]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,98986201761]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,5109641653° = 136°30'35″ = 0,7599049946 rad
∠ B' = β' = 120,65107699401° = 120°39'3″ = 1,03658394731 rad
∠ C' = γ' = 102,84395884069° = 102°50'23″ = 1,34767032345 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 15 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 15 + 17 = 44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 12) (22 - 15) (22 - 17) S = 7700 = 87, 75

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 7 , 7 5}{1 2} = 14, 62 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 7 , 7 5}{1 5} = 11, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 7 , 7 5}{1 7} = 10, 32

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 43 ° 2 9^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 7}) = 59 ° 2 0^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 2 9^{'} 25 " - 59 ° 2 0^{'} 57 " = 77 ° 9^{'} 37 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 7 , 7 5}{2 2} = 3, 99

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 9 8 9 \cdot 2 2} = 8, 72

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 14, 866 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 659 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 10, 595

Vypočítať ďaľší trojuholník