Trojuholník 12 15 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 15
c = 20

Obsah trojuholníka: S = 89,66656985697
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Uhol ∠ A = α = 36,71104466683° = 36°42'38″ = 0,64107181642 rad
Uhol ∠ B = β = 48,35496321995° = 48°20'59″ = 0,8443860274 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,94399211322° = 94°56'24″ = 1,65770142153 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 14,9444283095
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,9555426476
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,9676569857

Ťažnica: t_a = 16,62882891483
Ťažnica: t_b = 14,68884308216
Ťažnica: t_c = 9,19223881554

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,81655616413
Polomer opísanej kružnice: R = 10,03772830899

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[7,975; 8,9676569857]
Ťažisko: T[9,325; 2,9898856619]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -0,86443215994]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 3,81655616413]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,29895533317° = 143°17'22″ = 0,64107181642 rad
∠ B' = β' = 131,65503678005° = 131°39'1″ = 0,8443860274 rad
∠ C' = γ' = 85,06600788678° = 85°3'36″ = 1,65770142153 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 15 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 15 + 20 = 47

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 5 (23, 5 - 12) (23, 5 - 15) (23, 5 - 20) S = 8039, 94 = 89, 67

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 9 , 6 7}{1 2} = 14, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 9 , 6 7}{1 5} = 11, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 9 , 6 7}{2 0} = 8, 97

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}) = 36 ° 4 2^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 0}) = 48 ° 2 0^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 4 2^{'} 38 " - 48 ° 2 0^{'} 59 " = 94 ° 5 6^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 9 , 6 7}{2 3 , 5} = 3, 82

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 8 1 6 \cdot 2 3 , 5} = 10, 04

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 16, 628 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 14, 688 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 9, 192

Vypočítať ďaľší trojuholník