Trojuholník 12 15 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 15
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 63,27771680782
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Uhol ∠ A = α = 19,72333084717° = 19°43'24″ = 0,34442366722 rad
Uhol ∠ B = β = 24,95113010927° = 24°57'5″ = 0,43554823567 rad
Uhol ∠ C = γ = 135,32553904356° = 135°19'31″ = 2,36218736246 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,54661946797
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 8,43769557438
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,06221734463

Ťažnica: t_a = 19,72330829233
Ťažnica: t_b = 18,1187670932
Ťažnica: t_c = 5,31550729064

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,43437372338
Polomer opísanej kružnice: R = 17,77989245974

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,88; 5,06221734463]
Ťažisko: T[11,96; 1,68773911488]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -12,64327908248]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 2,43437372338]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,27766915283° = 160°16'36″ = 0,34442366722 rad
∠ B' = β' = 155,04986989073° = 155°2'55″ = 0,43554823567 rad
∠ C' = γ' = 44,67546095644° = 44°40'29″ = 2,36218736246 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 15 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 15 + 25 = 52

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 12) (26 - 15) (26 - 25) S = 4004 = 63, 28

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 3 , 2 8}{1 2} = 10, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 3 , 2 8}{1 5} = 8, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 3 , 2 8}{2 5} = 5, 06

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 5}) = 19 ° 4 3^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 5}) = 24 ° 5 7^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 4 3^{'} 24 " - 24 ° 5 7^{'} 5 " = 135 ° 1 9^{'} 31 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 3 , 2 8}{2 6} = 2, 43

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 4 3 4 \cdot 2 6} = 17, 78

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 723 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 18, 118 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 5, 315

Vypočítať ďaľší trojuholník