Trojuholník 12 16 22
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 16
c = 22
Obsah trojuholníka: S = 93,6754969976
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 32,15772086093° = 32°9'26″ = 0,56112491685 rad
Uhol ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,79113295877 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15,6122494996
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,7099371247
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,51659063615
Ťažnica: ta = 18,27656668825
Ťažnica: tb = 15,81113883008
Ťažnica: tc = 8,88881944173
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,7476998799
Polomer opísanej kružnice: R = 11,27330220279
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[8,45545454545; 8,51659063615]
Ťažisko: T[10,15215151515; 2,83986354538]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -2,46659735686]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,7476998799]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,84327913907° = 147°50'34″ = 0,56112491685 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,79113295877 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=16 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+16+22=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−12)(25−16)(25−22) S=8775=93,67
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 93,67=15,61 vb=b2 S=162⋅ 93,67=11,71 vc=c2 S=222⋅ 93,67=8,52
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 22162+222−122)=32°9′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 22122+222−162)=45°12′26" γ=180°−α−β=180°−32°9′26"−45°12′26"=102°38′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2593,67=3,75
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,747⋅ 2512⋅ 16⋅ 22=11,27
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 222−122=18,276 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 122−162=15,811 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 162−222=8,888
Vypočítať ďaľší trojuholník