Trojuholník 12 17 20
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 17
c = 20
Obsah trojuholníka: S = 101,66658128379
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Uhol ∠ A = α = 36,7299236457° = 36°43'45″ = 0,64110461079 rad
Uhol ∠ B = β = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,36107147993° = 85°21'39″ = 1,49898255251 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,94443021397
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,96106838633
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,16765812838
Ťažnica: ta = 17,56441680703
Ťažnica: tb = 14,13332940251
Ťažnica: tc = 10,79435165725
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,15496250138
Polomer opísanej kružnice: R = 10,03328711445
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[6,375; 10,16765812838]
Ťažisko: T[8,79216666667; 3,38988604279]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 0,81114822249]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,15496250138]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,2710763543° = 143°16'15″ = 0,64110461079 rad
∠ B' = β' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ C' = γ' = 94,63992852007° = 94°38'21″ = 1,49898255251 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=17 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+17+20=49
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−12)(24,5−17)(24,5−20) S=10335,94=101,67
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 101,67=16,94 vb=b2 S=172⋅ 101,67=11,96 vc=c2 S=202⋅ 101,67=10,17
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−122)=36°43′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−172)=57°54′36" γ=180°−α−β=180°−36°43′45"−57°54′36"=85°21′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=24,5101,67=4,15
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,15⋅ 24,512⋅ 17⋅ 20=10,03
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 202−122=17,564 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 122−172=14,133 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 172−202=10,794
Vypočítať ďaľší trojuholník