Trojuholník 12 17 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 17
c = 25
Obsah trojuholníka: S = 90
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 25,05876154183° = 25°3'27″ = 0,43773378917 rad
Uhol ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ C = γ = 118,07224869359° = 118°4'21″ = 2,0610753653 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,58882352941
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,2
Ťažnica: ta = 20,51882845287
Ťažnica: tb = 17,67105970471
Ťažnica: tc = 7,76220873481
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,33333333333
Polomer opísanej kružnice: R = 14,16766666667
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[9,6; 7,2]
Ťažisko: T[11,53333333333; 2,4]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -6,66766666667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 3,33333333333]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,94223845817° = 154°56'33″ = 0,43773378917 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 61,92875130641° = 61°55'39″ = 2,0610753653 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=17 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+17+25=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−12)(27−17)(27−25) S=8100=90
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 90=15 vb=b2 S=172⋅ 90=10,59 vc=c2 S=252⋅ 90=7,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 25172+252−122)=25°3′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 25122+252−172)=36°52′12" γ=180°−α−β=180°−25°3′27"−36°52′12"=118°4′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2790=3,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,333⋅ 2712⋅ 17⋅ 25=14,17
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 252−122=20,518 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 122−172=17,671 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 172−252=7,762
Vypočítať ďaľší trojuholník