Trojuholník 12 18 20

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 18
c = 20

Obsah trojuholníka: S = 106,65436450385
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Uhol ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Uhol ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,94435552214° = 80°56'37″ = 1,41327315469 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 17,77656075064
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,85504050043
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,66553645039

Ťažnica: t_a = 18,05554700853
Ťažnica: t_b = 13,82202749611
Ťažnica: t_c = 11,57658369028

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,26661458015
Polomer opísanej kružnice: R = 10,12662361883

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[5,5; 10,66553645039]
Ťažisko: T[8,5; 3,55551215013]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 1,59439445852]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4,26661458015]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 99,05664447786° = 99°3'23″ = 1,41327315469 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 18 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 18 + 20 = 50

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 12) (25 - 18) (25 - 20) S = 11375 = 106, 65

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 6 5}{1 2} = 17, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 6 5}{1 8} = 11, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 6 5}{2 0} = 10, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}) = 36 ° 2 0^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 0}) = 62 ° 4 3^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 2 0^{'} 10 " - 62 ° 4 3^{'} 13 " = 80 ° 5 6^{'} 37 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 6 , 6 5}{2 5} = 4, 27

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 2 6 6 \cdot 2 5} = 10, 13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 18, 055 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 13, 82 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 11, 576

Vypočítať ďaľší trojuholník