Trojuholník 12 21 24

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 21
c = 24

Obsah trojuholníka: S = 125,98799091125
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 29,99547255274° = 29°59'41″ = 0,52435067187 rad
Uhol ∠ B = β = 61,02884677763° = 61°1'42″ = 1,06551477001 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,97768066963° = 88°58'37″ = 1,55329382348 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 20,99766515188
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,99880865821
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,49883257594

Ťažnica: t_a = 21,73770651193
Ťažnica: t_b = 15,80334806293
Ťažnica: t_c = 12,1866057607

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,42203476882
Polomer opísanej kružnice: R = 12,0021913723

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[5,81325; 10,49883257594]
Ťažisko: T[9,93875; 3,49994419198]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; 0,21443198879]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,42203476882]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,00552744726° = 150°19″ = 0,52435067187 rad
∠ B' = β' = 118,97215322237° = 118°58'18″ = 1,06551477001 rad
∠ C' = γ' = 91,02331933037° = 91°1'23″ = 1,55329382348 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 21 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 21 + 24 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 12) (28, 5 - 21) (28, 5 - 24) S = 15870, 94 = 125, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 9 8}{1 2} = 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 9 8}{2 1} = 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 9 8}{2 4} = 10, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 4}) = 29 ° 5 9^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 4}) = 61 ° 1^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 9^{'} 41 " - 61 ° 1^{'} 42 " = 88 ° 5 8^{'} 37 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 5 , 9 8}{2 8 , 5} = 4, 42

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 1 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 4 2 \cdot 2 8 , 5} = 12

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 21, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 15, 803 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 12, 186

Vypočítať ďaľší trojuholník