Trojuholník 12 23 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 23 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 125,79112457208
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Uhol ∠ A = α = 21,3843725332° = 21°23'1″ = 0,37332164134 rad
Uhol ∠ B = β = 44,33440313162° = 44°20'3″ = 0,77437748172 rad
Uhol ∠ C = γ = 114,28222433518° = 114°16'56″ = 1,99546014231 rad

Výška trojuholníka: v_a = 20,96552076201
Výška trojuholníka: v_b = 10,93883691931
Výška trojuholníka: v_c = 8,38660830481

Ťažnica: t_a = 26,04880325553
Ťažnica: t_b = 19,74220870224
Ťažnica: t_c = 10,5599356041

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,87704998683
Polomer opísanej kružnice: R = 16,4565835127

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[8,58333333333; 8,38660830481]
Ťažisko: T[12,86111111111; 2,7955361016]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -6,7677164083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 3,87704998683]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,6166274668° = 158°36'59″ = 0,37332164134 rad
∠ B' = β' = 135,66659686838° = 135°39'57″ = 0,77437748172 rad
∠ C' = γ' = 65,71877566482° = 65°43'4″ = 1,99546014231 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 23 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 23 + 30 = 65

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 12) (32, 5 - 23) (32, 5 - 30) S = 15823, 44 = 125, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 7 9}{1 2} = 20, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 7 9}{2 3} = 10, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 7 9}{3 0} = 8, 39

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 3 0}) = 21 ° 2 3^{'} 1 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 3 0}) = 44 ° 2 0^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 2 3^{'} 1 " - 44 ° 2 0^{'} 3 " = 114 ° 1 6^{'} 56 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 5 , 7 9}{3 2 , 5} = 3, 87

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 3 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 8 7 \cdot 3 2 , 5} = 16, 46

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 26, 048 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 19, 742 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 10, 559

Vypočítať ďaľší trojuholník