Trojuholník 128 39 101

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 128
b = 39
c = 101

Obsah trojuholníka: S = 1587,62108615409
Obvod trojuholníka: o = 268
Semiperimeter (poloobvod): s = 134

Uhol ∠ A = α = 126,28330378887° = 126°16'59″ = 2,20440548006 rad
Uhol ∠ B = β = 14,21878657683° = 14°13'4″ = 0,24881485703 rad
Uhol ∠ C = γ = 39,49990963429° = 39°29'57″ = 0,68993892827 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 24,80765759616
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 81,4166454438
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 31,43880368622

Ťažnica: t_a = 42,01219030752
Ťažnica: t_b = 113,63220817375
Ťažnica: t_c = 80,01440612643

Polomer vpísanej kružnice: r = 11,84879168772
Polomer opísanej kružnice: R = 79,39442704165

Súradnice vrcholov: A[101; 0] B[0; 0] C[124,07992079208; 31,43880368622]
Ťažisko: T[75,02664026403; 10,47993456207]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[50,5; 61,26333673165]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[95; 11,84879168772]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 53,71769621113° = 53°43'1″ = 2,20440548006 rad
∠ B' = β' = 165,78221342317° = 165°46'56″ = 0,24881485703 rad
∠ C' = γ' = 140,50109036571° = 140°30'3″ = 0,68993892827 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 128 b = 39 c = 101

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 128 + 39 + 101 = 268

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6 8}{2} = 134

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 134 (134 - 128) (134 - 39) (134 - 101) S = 2520540 = 1587, 62

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 8 7 , 6 2}{1 2 8} = 24, 81 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 8 7 , 6 2}{3 9} = 81, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 8 7 , 6 2}{1 0 1} = 31, 44

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 9 ^{2} + 1 0 1 ^{2} - 1 2 8 ^{2}}{2 \cdot 3 9 \cdot 1 0 1}) = 126 ° 1 6^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 8 ^{2} + 1 0 1 ^{2} - 3 9 ^{2}}{2 \cdot 1 2 8 \cdot 1 0 1}) = 14 ° 1 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 126 ° 1 6^{'} 59 " - 14 ° 1 3^{'} 4 " = 39 ° 2 9^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 8 7 , 6 2}{1 3 4} = 11, 85

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 8 \cdot 3 9 \cdot 1 0 1}{4 \cdot 1 1 , 8 4 8 \cdot 1 3 4} = 79, 39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 1 ^{2} - 1 2 8 ^{2}}{2} = 42, 012 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 8 ^{2} - 3 9 ^{2}}{2} = 113, 632 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 8 ^{2} + 2 \cdot 3 9 ^{2} - 1 0 1 ^{2}}{2} = 80, 014

Vypočítať ďaľší trojuholník