Trojuholník 13 13 18
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 13 c = 18Obsah trojuholníka: S = 84,42774836768
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 46,18769385396° = 46°11'13″ = 0,80661141489 rad
Uhol ∠ B = β = 46,18769385396° = 46°11'13″ = 0,80661141489 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,62661229208° = 87°37'34″ = 1,52993643557 rad
Výška trojuholníka: va = 12,98988436426
Výška trojuholníka: vb = 12,98988436426
Výška trojuholníka: vc = 9,38108315196
Ťažnica: ta = 14,2921605928
Ťažnica: tb = 14,2921605928
Ťažnica: tc = 9,38108315196
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,83876128944
Polomer opísanej kružnice: R = 9,0087730266
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[9; 9,38108315196]
Ťažisko: T[9; 3,12769438399]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 0,37331012536]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,83876128944]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,81330614604° = 133°48'47″ = 0,80661141489 rad
∠ B' = β' = 133,81330614604° = 133°48'47″ = 0,80661141489 rad
∠ C' = γ' = 92,37438770792° = 92°22'26″ = 1,52993643557 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=13 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+13+18=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−13)(22−13)(22−18) S=7128=84,43
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 84,43=12,99 vb=b2 S=132⋅ 84,43=12,99 vc=c2 S=182⋅ 84,43=9,38
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 18132+182−132)=46°11′13" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 18132+182−132)=46°11′13" γ=180°−α−β=180°−46°11′13"−46°11′13"=87°37′34"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2284,43=3,84
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,838⋅ 2213⋅ 13⋅ 18=9,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 182−132=14,292 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 132−132=14,292 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 132−182=9,381
Vypočítať ďaľší trojuholník