Trojuholník 13 16 19
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 16 c = 19Obsah trojuholníka: S = 102,76218606293
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Uhol ∠ A = α = 42,5376898363° = 42°32'13″ = 0,742240893 rad
Uhol ∠ B = β = 56,31329847354° = 56°18'47″ = 0,98328469953 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,15501169016° = 81°9' = 1,41663367283 rad
Výška trojuholníka: va = 15,81095170199
Výška trojuholníka: vb = 12,84552325787
Výška trojuholníka: vc = 10,8177037961
Ťažnica: ta = 16,31771688721
Ťažnica: tb = 14,17774468788
Ťažnica: tc = 11,05766721937
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,28217441929
Polomer opísanej kružnice: R = 9,61444619604
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[7,21105263158; 10,8177037961]
Ťažisko: T[8,73768421053; 3,60656793203]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 1,47991479939]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,28217441929]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,4633101637° = 137°27'47″ = 0,742240893 rad
∠ B' = β' = 123,68770152646° = 123°41'13″ = 0,98328469953 rad
∠ C' = γ' = 98,85498830984° = 98°51' = 1,41663367283 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=16 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+16+19=48
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−13)(24−16)(24−19) S=10560=102,76
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 102,76=15,81 vb=b2 S=162⋅ 102,76=12,85 vc=c2 S=192⋅ 102,76=10,82
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 19162+192−132)=42°32′13" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 19132+192−162)=56°18′47" γ=180°−α−β=180°−42°32′13"−56°18′47"=81°9′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=24102,76=4,28
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,282⋅ 2413⋅ 16⋅ 19=9,61
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 192−132=16,317 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 132−162=14,177 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 162−192=11,057
Vypočítať ďaľší trojuholník