Trojuholník 13 16 22
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 16
c = 22
Obsah trojuholníka: S = 102,94987129594
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5
Uhol ∠ A = α = 35,79884595862° = 35°47'54″ = 0,62548009869 rad
Uhol ∠ B = β = 46,04879641864° = 46°2'53″ = 0,80436885889 rad
Uhol ∠ C = γ = 98,15435762274° = 98°9'13″ = 1,71331030778 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15,83882635322
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 12,86985891199
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,35989739054
Ťažnica: ta = 18,10438669902
Ťažnica: tb = 16,2021851746
Ťažnica: tc = 9,56655632349
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,03772044298
Polomer opísanej kružnice: R = 11,11223293057
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,02327272727; 9,35989739054]
Ťažisko: T[10,34109090909; 3,12196579685]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -1,57660274736]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,03772044298]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,20215404138° = 144°12'6″ = 0,62548009869 rad
∠ B' = β' = 133,95220358136° = 133°57'7″ = 0,80436885889 rad
∠ C' = γ' = 81,84664237726° = 81°50'47″ = 1,71331030778 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=16 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+16+22=51
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=251=25,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25,5(25,5−13)(25,5−16)(25,5−22) S=10598,44=102,95
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 102,95=15,84 vb=b2 S=162⋅ 102,95=12,87 vc=c2 S=222⋅ 102,95=9,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 22162+222−132)=35°47′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 22132+222−162)=46°2′53" γ=180°−α−β=180°−35°47′54"−46°2′53"=98°9′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25,5102,95=4,04
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,037⋅ 25,513⋅ 16⋅ 22=11,11
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 222−132=18,104 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 132−162=16,202 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 162−222=9,566
Vypočítať ďaľší trojuholník