Trojuholník 13 18 23

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 13
b = 18
c = 23

Obsah trojuholníka: S = 116,65333325713
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Uhol ∠ A = α = 34,30111527568° = 34°18'4″ = 0,59986680528 rad
Uhol ∠ B = β = 51,28771214574° = 51°17'14″ = 0,89551291333 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,41217257858° = 94°24'42″ = 1,64877954675 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 17,94766665494
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 12,96114813968
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,14437680497

Ťažnica: t_a = 19,60222957839
Ťažnica: t_b = 16,37107055437
Ťažnica: t_c = 10,68987791632

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,32204937989
Polomer opísanej kružnice: R = 11,53441754097

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[8,13304347826; 10,14437680497]
Ťažisko: T[10,37768115942; 3,38112560166]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -0,88772442623]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 4,32204937989]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,69988472432° = 145°41'56″ = 0,59986680528 rad
∠ B' = β' = 128,71328785426° = 128°42'46″ = 0,89551291333 rad
∠ C' = γ' = 85,58882742142° = 85°35'18″ = 1,64877954675 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 18 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 18 + 23 = 54

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 13) (27 - 18) (27 - 23) S = 13608 = 116, 65

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 6 5}{1 3} = 17, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 6 5}{1 8} = 12, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 6 5}{2 3} = 10, 14

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}) = 34 ° 1 8^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 3}) = 51 ° 1 7^{'} 14 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 1 8^{'} 4 " - 51 ° 1 7^{'} 14 " = 94 ° 2 4^{'} 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 6 , 6 5}{2 7} = 4, 32

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 8 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 3 2 \cdot 2 7} = 11, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 19, 602 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 16, 371 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 10, 689

Vypočítať ďaľší trojuholník